数学简史

前 言 VII 第一章 中东，或数学的起源 数学的起源 003 计数的开始 003 数基和进制 005 阿拉伯数系 007 形而几何学 010 尼罗河文明 012 奇特的地形 012 莱茵德纸草书 014 埃及分数 016 在河流之间 019 巴比伦尼亚 019 泥板书上的根 021 普林顿322 号 022 结语 025 第二章 希腊的那些先哲们 数学家的诞生 029 希腊人的出场 029 论证的开端 031 毕达哥拉斯 034 柏拉图学园 039 芝诺的乌龟 039 柏拉图学园 041 亚里士多德 045 亚历山大学派 048 《几何原本》 048 阿基米德 051 其他数学家 054 结语 059 第三章 中世纪的中国 引子 065 先秦时代 065 《周髀算经》 067 《九章算术》 069 从割圆术到孙子定理 073 刘徽的割圆术 073 祖氏父子 076 孙子定理 079 宋元六大家 083 沈括和贾宪 083 杨辉和秦九韶 085 李冶和朱世杰 090 结语 094 第四章 印度人和波斯人 从印度河到恒河 099 雅利安人的宗教 099 《绳法经》和佛经 101 零号和印度数字 104 从北印度到南印度 108 阿耶波多 108 婆罗摩笈多 110 马哈维拉 112 婆什迦罗 115 神赐的土地 119 阿拉伯帝国 119 巴格达的智慧宫 121 花拉子密的《代数学》 123 波斯的智者 127 伊斯法罕的海亚姆 127 大不里士的纳西尔丁 131 撒马尔罕的卡西 134 结语 137 第五章 从文艺复兴到微积分的诞生 欧洲的文艺复兴 143 中世纪的欧洲 143 斐波那契的兔子 145 阿尔贝蒂的透视学 147 达·芬奇和丢勒 150 微积分的创立 154 近代数学的兴起 154 解析几何的诞生 157 微积分学的先驱 161 牛顿和莱布尼茨 164 结语 171 第六章 分析时代与法国大革命 分析时代 177 业余数学家之王 177 微积分学的发展 182 微积分学的影响 186 伯努利家族 190 法国大革命 194 拿破仑·波拿巴 194 高耸的金字塔 197 法兰西的牛顿 201 皇帝的密友 203 结语 207 第七章 现代数学与现代艺术 代数学的新生 213 分析的严格化 213 阿贝尔和伽罗华 217 哈密尔顿的四元数 221 几何学的变革 227 几何学的家丑 227 非欧几何学的诞生 229 黎曼几何学 234 艺术的新纪元 239 爱伦·坡 239 波德莱尔 242 从模仿到机智 246 结语 249 第八章 抽象化：20 世纪以来 走向抽象化 255 集合论和公理化 255 数学的抽象化 259 绘画中的抽象 265 数学的应用 270 理论物理学 270 生物学和经济学 274 计算机和混沌理论 278 数学与逻辑学 286 罗素的悖论 286 维特根斯坦 291 哥德尔定理 295 结语 298 附录1 数学年表 303 附录2 常用数学符号的来历 307 参考文献 309 人名索引 313

（中国）蔡天新 蔡天新，浙江台州人，曾是少年大学生，山东大学理学博士，浙江大学数学学院教授、博士生导师。同时是一位诗人、作家、摄影师，近作有诗集《美好的午餐》《日内瓦湖》，随笔集《数学传奇》《轻轻掐了她几下》，旅行记《美国，天上飞机在飞》《里约的诱惑——回忆拉丁美洲》，摄影集《从看见到发现》，以及《数之书》，主编《现代诗110首》（蓝、红、黄卷）、《漫游之诗》和《冥想之诗》。他的作品被译成20多种语言，并有英语、法语、西班牙语等外版著作10余种。 近年来，蔡天新应邀在海内外大中小学、图书馆书店和机关部队做了300多场公众讲座，先后在纪录片《西湖》《南宋》里出镜解说。纽约、巴黎、剑桥、旧金山、法兰克福、墨西哥城、内罗毕等城市举办过他的诗歌朗诵会，他的摄影展先后在深圳、杭州、南京、郑州、合肥、上海、休斯顿等城市举办。 蔡天新在上大学的路上第一次见到火车，如今足迹已遍及中国每个省份和包括埃及、巴比伦、印度、波斯、腓尼基、迦太基、玛雅、印加和希腊在内的100多个国家和地区。2015年，蔡天新入选“首届杭州十大创新人物”。

    数学的应用：计算机与人工智能 一般来说，计算机是指能接收数据，按照程序指令进行运算并提供运算结果的自动电子机器。在计算机的历史上，起重要革新作用的几乎全是数学家。直到20 世纪70 年代末，中国大学里的电子计算机专业还大多设在数学系，就像康德时代数学隶属于哲学系一样。可是如今，多数大学都有了一两个计算机学院。用机器来代替人工计算，一直是人类的梦想。或许最早使用算盘的并非中国人，但长期以来使用最广泛的当属中国的算盘。在明代（1371）出版的一本书里，就有十档算盘的插图，但它的实际发明时间远在此之前。数学家程大位（1533—1606）的《算法统宗》（1592）详述了珠算的规则、口诀和方法，标志着珠算的成熟。这本书也流传到朝鲜和日本，使得算盘在这两个国家十分流行。 第一个提出机械计算机设计思想的是德国人席卡德（W. Schickard，1592—1635），他在与开普勒通信时阐述了这一想法。第一台能进行加减计算的机械计算机是由帕斯卡尔发明的（1642），30 年后莱布尼茨制造出一台能进行乘除和开方运算的计算机。使计算机拥有能对数据进行各种运算的装置，是向现代计算机过渡的关键一步，由英国数学家巴贝奇（C. Babbage，1792—1871）首先迈出，在数论里有一个与二项式系数有关的同余式用他的名字命名。巴贝奇设计的“分析机”（1834）分为运算室和存储库，外加一个专门控制运算程序的装置，他曾设想根据穿孔卡片上的“0”和“1”来控制运算的顺序，这无疑是现代电子计算机的雏形。 遗憾的是，即便巴贝奇付出后半生的绝大多数精力和财产，甚至失去剑桥大学的卢卡斯教授职位，也没几个人能理解他的思想。据说真正支持他的人只有三个：他的儿子——巴贝奇少将（在父亲去世后还为分析机奋斗了许多年）、未来的意大利总理和诗人拜伦（L. Byron，1788—1824）的女儿阿达。阿达（AdaLovelace，1815—1852）是拜伦和妻子的独生女，她为某些函数编制了计算程序，可谓开现代程序设计之先河。由于时代的局限性，巴贝奇分析机的设计方案在技术实施上遇到了巨大的障碍，他借助通用程序控制数字计算机的天才设想，要再过一个多世纪才能实现。 20 世纪以来，科学技术的迅猛发展带来了堆积如山的数据问题，尤其是在“二战”期间，军事上的计算需要更使计算速度的改进成为燃眉之急。起初，人们采用电器元件来代替机械齿轮。1944 年，美国哈佛大学的数学家艾肯（H. H. Aiken，1900—1973）在IBM（国际商业机器公司）的支持下设计和制造出世界上第一台能实际操作的通用程序计算机（占地170 平方米），只部分使用了继电器，不久后他又制成了一台全部用继电器的计算机。与此同时，在宾夕法尼亚大学，人们用电子管来代替继电器，于1946 年造出了第一台通用电子数字积分计算机（ENIAC），效率提高了1 000 倍。 1947 年，数学家冯·诺依曼（John Von Neumann，1903—1957）提出了把ENIAC使用的外插程序改为存储程序的想法，按照这种想法制成的计算机能按存储器中的指令进行操作，从而大大加快了运算进程。1946 年，他与人合作发表论文，提出了并行处理和存储数据计算机的综合设计理念，对后来的数字计算机的设计产生了深远影响。冯·诺依曼出生在布达佩斯，属于多才多艺的那类学者，在数学、物理学、经济学、气象学、爆炸理论和计算机领域都取得了很好的成就。据说他是在火车站等车时遇见了ENIAC的设计师，后者向他讨教计算机的技术问题，从而激起了他的兴趣。 另一位对计算机设计理念做出杰出贡献的是英国数学家图灵（A. Turing，1912—1954），他为了解决数理逻辑中的基本理论问题——相容性，以及数学问题的机器可计算性的判定，而提出了他的“理想计算机”模型。直到今天，数字计算机都没有跳出这个理想模型的范畴： 输入/ 输出装置（带子和读写头）、存储器和控制器。 图灵还研究过可以制造出能思考的计算机的理论，这方面的构想已成为人工智能研究的基础。他还提出了会思考的机器的标准，即有超过30%的测试者不能确定被测试者是人还是机器，被称为“图灵测试”。遗憾的是，图灵后来因为不堪忍受对其性取向进行的强迫治疗，吃下用溶液浸泡过的苹果而自杀。为了纪念图灵，1966 年，英特尔公司出资设立了“图灵奖”，这是计算机领域的优选奖项。1976年创建的苹果电脑公司以一只被咬了一口的苹果作为标志，这家以推出iPhone 手机和iPad 平板电脑风靡全球的公司的信念是：只有不完美才能促使进步去追求完美。 虽然数字计算机已历经四代的发展，但从电子管、晶体管到集成电路、超大规模集成电路，均是采用二进制拨码开关。这一点不会改变，即使将来有一天，电子计算机被取代（比如量子计算机）。这自然与19 世纪英国数学家布尔（G. Boole，1815—1864）所创立的布尔代数的符号逻辑体系分不开，他完成了两个世纪前莱布尼茨未竞的事业，即创立了一套表意符号，每一个符号代表一个简单的概念，再通过符号的组合来表达复杂的思想。布尔出身贫寒，他的父亲是一个补鞋匠，他主要通过自学成材，后来成为爱尔兰皇后学院（现名为科克大学）的数学教授，并入选英国皇家学会。不幸的是，布尔49 岁那年因淋雨患肺炎去世。当年早些时候，他的小女儿出世，她便是小说《牛虻》的作者伏尼契（E. L. Voynich，1864—1960）。 作为抽象数学应用的一个光辉典范，计算机也已成为数学研究本身的有力工具和问题源泉，并推动了一个新的数学分支——计算数学的诞生。它不仅设计、改进各种数值计算方法，还研究与这些计算有关的误差分析、收敛性和稳定性等问题。冯·诺依曼是这门学科的奠基人之一，不仅与人合作建立了全新的数值计算法——蒙特卡罗方法，还领导一个小组利用ENIAC首次实现了数值天气预报，后者的中心问题是求解有关的流体力学方程。值得一提的是，20 世纪60 年代，中国数学家冯康（1920—1993）独立创建了一种数值分析方法——有限元法，可用于包括航空、电磁场和桥梁设计等在内的工程计算。 1976 年秋， 伊利诺伊大学的两位数学家阿佩尔（K. Appel，1932—2013）和哈肯（W. Haken，1928— ）借助电子计算机，证明了已有100 多年历史的地图四色定理，这是利用计算机解决重大数学问题的最鼓舞人心的范例。说起地图四色定理，这是由英国人提出的难得一见的有名猜想。1852 年，刚刚在伦敦大学获得双学士学位的格斯里（F. Guthrie，1831—1899）来到一家科研单位做地图着色工作，他发现只需用4 种颜色即可填满地图并使得任何两个邻国呈现不同颜色。但是，不仅他和仍然在读的弟弟无法证明这个猜想，就连他的老师摩根和哈密尔顿也无能为力。于是，凯莱经过一番研究后在伦敦数学学会做了一个报告，使得这个问题出了名。 从那以后，数学家们更多地借助计算机研究纯粹数学，这方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的发现，它们是非线性科学的核心问题，可谓两朵美丽的“数学物理之花”。孤立子比四色定理出现得还早，1834 年，英国工程师拉塞尔（J. S. Russell，1808—1882） 在马背上跟踪观察运河中船只突然停止所激起的水波，他发现它们在行进中形状和速度没有发生明显的改变，于是称其为“孤立波”。一个多世纪以后，数学家们又发现，两个孤立波碰撞后仍是孤立波，因此被称为“孤立子”，孤立子在光纤通信、木星红斑活动、神经脉冲传导等领域大量存在。混沌理论是描述自然界不规则现象的有力工具，被视为继 相对论和量子力学之后现代物理学的又一次革命。 计算机科学的飞速发展，不仅离不开数理逻辑，也促进了与之相关的其他数学分支的变革或创立，前者的一个例子是组合学，后者的一个典型代表是模糊数学。组合学的起源可以追溯至《易经》中的“洛书”，莱布尼茨在《论组合的艺术》中率先提出了“组合”这个概念，后来数学家们从游戏中归纳出一些新问题，如哥尼斯堡七桥问题（衍生出“图论”这一组合数学的主要分支）、欧拉36 军官问题、柯克曼女生问题和哈密尔顿环球旅行问题等。20 世纪下半叶以来，在计算机系统设计和信息存储、恢复中遇到的问题，为组合学研究注入了全新的强大动力。 相比古老的组合学，1965 年诞生的模糊数学可以说是年轻的。按照经典集合的概念，每一个集合必须由确定的元素构成，元素之于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数μA (x) 来表示。 模糊数学的创始人是阿塞拜疆出生的伊朗裔美国数学家、电器工程师扎德（L. A. Zadeh，1921—2017），他把特征函数改写成所谓的隶属函数μA (x) ：0G μA (x) G 1，在这里A被称为模糊集合，μA (x) 为隶属度。经典集合论要求μA (x) 取0 或1 两个值，模糊集合则突破了这一，μA (x)= 1 表示百分之百隶属于A，μA (x)= 0 表示接近不属于A，还可以有20%隶属于A，80% 隶属于A，等等。由于人脑的思维包括准确的和模糊的两个方面，因此模糊数学在人工智能系统模拟人类思维的过程中起到了重要作用，它与新型的计算机设计密切相关。但是，作为一个数学分支，模糊数学尚未成熟。 现在，我们来谈谈计算机科学的一个分支——人工智能（ArtificialIntelligence，缩写为AI）。人工智能的概念最初是在1956 年，由美国新英格兰的达特茅斯学院提出的。人工智能的主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作，包括机器人、语言和图像的识别及处理等，涉及机器学习、计算机视觉等领域。其中，机器学习的数学基础有统计学、信息论和控制论，计算机视觉的数学工具有摄影几何学、矩阵与张量和模型估计。20 世纪70 年代以来，人工智能与空间技术、能源技术同被视作三大很好技术。过去的半个世纪，人工智能得到飞速发展，在很多领域获得广泛应用，成果卓著，如今它又与基因工程、纳米科学同被视作21 世纪的三大很好技术。 人工智能并非人类智能，但能像人类那样思考，也有可能超过人类智能。1997 年，美国IBM公司研制的“ 深蓝”（Deep Blue）战胜了阿塞拜疆出生的俄罗斯国际象棋大师卡斯帕罗夫（G. Kasparov，1963—  ）。2016 年和2017 年， 谷歌旗下 的人工智能公司DeepMind研制的“阿尔法狗”（AlphaGo）又击败了两位围棋世界冠军——韩国的李世石（1983—  ）和中国的柯洁（1997—  ）。这方面的进步得益于云计算、大数据、神经网络技术的发展和摩尔定律。目前，人工智能在逻辑推理方面可以说已超越人类，但是在认知情感、决策等领域能做的事情仍十分有限。专家认为，人工智能所面临的更多是数学问题，还没有像克隆技术那样发展到需要进行伦理讨论的阶段。

？ 这本书是由我国知名数学家蔡天新教授写作的一本中国人自己的“数学简史”； ？ 作者认为，数学的触角几乎遍及人类社会的每一个角落，以及历史和生命的每一个瞬时； ？ 本书入选新闻出版广电总局向全国青少年推荐的百种优秀图书，适合小学生、中学生、大学生还有“门外汉”了解数学的发展史，以及数学在人类文明的进程中扮演的不可或缺的角色。 ？ 美是数学的一个重要特征，这一特征体现在了数学发展的整个历史进程中，但由于数学的严格性和抽象性而难以为“局外人”所体会。《数学简史》做到了这一点，作者蔡天新是难得的诗人数学家。在阅读本书时体会其无处不在的诗韵本身就是一种享受，她是数学自身固有的美和作者优雅的艺术品味的巧妙融合。 ——彭实戈，数学家 ？ 小时候我们常把聪明的同学称为“数学脑瓜”，是指数学好才聪明。数学不仅仅是计算方法，更重要的是思维方式。我一直想推荐一本数学史，读过几本，觉得还是太专业，太难读。但这本《数学简史》我觉得任何人都会有兴趣读下去，且会有所收获。数学的发展主要在西方，但作者并没有忘记中国。更可贵的是，这本书着眼于从整个人类文明的角度来介绍数学，这就让人读起来兴趣盎然了。 ——梁小民，经济学家 ？ 人类智力高低的标准是什么？一直以来有较多的争议。但数学作为人类智慧的结晶，却是长久以来达成的共识。了解数学的历史，既能了解作为高级动物的人类发展的历史，更能窥见人类智力的进步。蔡天新的《数学简史》叙述角度新颖、文字优美，让我们一起享受这本书带来的智趣吧。 ——饶 毅，生物学家

在一般人眼中，数学意味着繁难的计算、无尽的逻辑推演，以及如天书般的公式和符号。这些让数学看起来离我们的生活很远，且与文化艺术这类精神生活毫不相干。而在《数学简史》的作者蔡天新看来，数学与科学、人文的各个分支一样，都是人类大脑进化和智力发展进程的反映。它们在特定的历史时期必然相互影响，并呈现出某种相通的特性。 《数学简史》是一部另类的“数学简史”，跨越了不同的地域和种族，依次探讨了数学与不同文明之间的关系，并各有侧重。关于古代，包括四大文明古国和希腊、阿拉伯，《数学简史》着力于发现有现代意义的亮点；至于近代文明，则考察了文艺复兴的艺术与几何学、工业革命与微积分、法国大革命与应用数学的关系。对现代数学与现代艺术进行阐述和比较，也是《数学简史》的一大亮点。 数学来自人类对生活和世界的观察，以及对现实事物和问题的思考。数学的触角几乎遍及人类社会的每一个角落，以及历史和生命的每一个瞬时。希望读者能通过《数学简史》的阅读，拉近与数学这门抽象学科的心理距离，从中理解各自所学或从事专业与数学的关系，进而反思人类文明的历史进程甚或生活的意义。

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